◎历二
▲大统历法一上（法原）
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大
衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、
卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履
谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初
稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。
使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，
首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道
内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
▲句股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太
阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周
天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，
求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太
阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。
置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以
句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤
道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，
为北京北极出地度。
▲弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。（少不用。）半径六十零度八十七分半。
（又为黄赤道大弦。）二至黄赤道内外半弧背二十四度。（所测就整。）二至黄
赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股
五十六度零二分六十八秒。（半径内减去矢度之数。）
割圆求矢术置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半
弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘
上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。
从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不
尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。
并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，
为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽
者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。（黄赤道同用。）
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周
天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。
上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，
得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度
倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八
十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益
从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十
九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二
百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。
以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，
为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，
以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初
商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十
三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万
四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。
加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八
六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。
以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，
为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余
实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。（不足一秒叶不用，下同。）
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度
之根。（数详后。）
▲黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小
弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之（大股见割圆）为实。黄赤道大弦（半径）
为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如
法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，（即黄道半弧背。）余为黄道
半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开
平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径（亦为赤道大弦）乘之
为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，（亦为赤道横小句）
以赤道大弦（即半径）乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半
径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以
差加赤道半弧，为赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，
（即黄赤道大弦。）内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。
置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七
二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六
度零一分九十二秒，为黄赤道小股。（又为赤道小句。）置矢度八十二秒自之，
得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦
差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，
即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六
度零一矣二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千
一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤
道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径（即赤道大弦）乘之，得六十零度八七五为
实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半
弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，（又为赤道小句。）以赤道大弦（半径）
六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，
得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，
内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道
横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背
弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在
微已下不加，即用半弧弦为积度。
凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道
积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求
之，其数并同。
▲黄赤道相求弧矢诸率立成上
（表格略）
▲黄赤道相求弧矢诸率立成下
（表格略）
按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。
《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合於浑象之理，视
古为密。顾《至元历经》所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正
之。
▲割圆弧矢图
凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，
有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧
弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小
弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，
生小句股。
外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧
弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非
图不明，因存其要者数端。
▲黄赤道内外度
推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道
二弦差。（又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。）置半径内外减去黄
道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为
法，（即半径。）除之为黄赤道小弧弦。（即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小
句。）置黄赤道小弧矢自之，（即赤道二弦差。）以全径除之，为半背弦差。以
差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在
盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度
八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度
五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。（即内外矢。）置半径六十零度八七五，
内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，
为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，
得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除
之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。（即内外半弧弦。）置黄赤道
小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得
五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一
十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九
十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度
六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
▲黄道每度去赤道内外及去北极立成
（表格略）
▲白道交周
推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六
度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千
七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，
加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为
小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十
六度零六分五十秒，得二度三十七分（就整）为度差。以度差乘小句，得小股一
十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句
五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小
弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。依法求行半弧背一十四度六十六
分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。